Función aditiva

En matemáticas la función del aditivo del término tiene dos definiciones diferentes, según el campo específico de la aplicación.

En el álgebra una función aditiva (o el mapa aditivo) son una función que conserva la operación de adición:

:f (x + y) = f (x) + f (y)

para cualquier dos elemento x y y en la esfera. Por ejemplo, cualquier mapa lineal es aditivo. Cuando la esfera es los números reales, esto es la ecuación funcional de Cauchy.

En la teoría numérica, una función aditiva es una función aritmética f (n) del número entero positivo n tal que siempre que a y b sean coprime, la función del producto es la suma de las funciones:

:f (ab) = f (a) + f (b).

El resto de este artículo habla del número funciones aditivas teóricas, usando la segunda definición.

Ya que un caso concreto de la primera definición ve el polinomio aditivo. También note que cualquier homomorphism f entre grupos de Abelian es "aditivo" por la primera definición.

Completamente aditivo

Se dice que una función aditiva f (n) es completamente aditiva si f (ab) = f (a) + f (b) sostiene para todos los números enteros positivos a y b, aun cuando no son co-principales. Totalmente aditivo también es usado en este sentido por la analogía con totalmente multiplicative funciones. Si f es una función completamente aditiva entonces f (1) = 0.

Cada función completamente aditiva es aditiva, pero no viceversa.

Ejemplos

El ejemplo de funciones aritméticas que son completamente aditivas es:

:: (un 4) = 2 + 2 = 4

:: (un 20) = un (2 · 5) = 2 + 2 + 5 = 9

:: (un 27) = 3 + 3 + 3 = 9

:: (un 144) = un (2 · 3) = (un 2) + (un 3) = 8 + 6 = 14

:: (un 2,000) = un (2 · 5) = (un 2) + (un 5) = 8 + 15 = 23

:: (un 2,003) = 2003

:: (un 54,032,858,972,279) = 1240658

:: (un 54,032,858,972,302) = 1780417

:: (un 20,802,650,704,327,415) = 1240681

::Ω (1) = 0, desde 1 no tiene factores principales

::Ω (20) = Ω (2 · 2 · 5) = 3

::Ω (4) = 2

::Ω (27) = 3

::Ω (144) = Ω (2 · 3) = Ω (2) + Ω (3) = 4 + 2 = 6

::Ω (2,000) = Ω (2 · 5) = Ω (2) + Ω (5) = 4 + 3 = 7

::Ω (2,001) = 3

::Ω (2,002) = 4

::Ω (2,003) = 1

::Ω (54,032,858,972,279) = 3

::Ω (54,032,858,972,302) = 6

::Ω (20,802,650,704,327,415) = 7

El ejemplo de funciones aritméticas que son aditivas, pero no completamente aditivas es:

::ω (4) = 1

::ω (20) = ω (2 · 5) = 2

::ω (27) = 1

::ω (144) = ω (2 · 3) = ω (2) + ω (3) = 1 + 1 = 2

::ω (2,000) = ω (2 · 5) = ω (2) + ω (5) = 1 + 1 = 2

::ω (2,001) = 3

::ω (2,002) = 4

::ω (2,003) = 1

::ω (54,032,858,972,279) = 3

::ω (54,032,858,972,302) = 5

::ω (20,802,650,704,327,415) = 5

:: (un 1) = 0

:: (un 4) = 2

:: (un 20) = 2 + 5 = 7

:: (un 27) = 3

:: (un 144) = un (2 · 3) = (un 2) + (un 3) = 2 + 3 = 5

:: (un 2,000) = un (2 · 5) = (un 2) + (un 5) = 2 + 5 = 7

:: (un 2,001) = 55

:: (un 2,002) = 33

:: (un 2,003) = 2003

:: (un 54,032,858,972,279) = 1238665

:: (un 54,032,858,972,302) = 1780410

:: (un 20,802,650,704,327,415) = 1238677

Funciones de Multiplicative

De cualquier función aditiva f (n) es fácil crear una función de multiplicative relacionada g (n) es decir con la propiedad que siempre que a y b sean coprime tenemos:

:g (ab) = g (a) × g (b).

Un tal ejemplo es g (n) = 2.

Véase también

Adelante lectura



Buscar