Subgrupo característico

En matemáticas, en particular en el área del álgebra abstracta conocida como la teoría del grupo, un subgrupo característico es un subgrupo que es invariante bajo todo automorphisms del grupo paternal. Como la conjugación es un automorphism, cada subgrupo característico es normal, aunque no cada subgrupo normal sea característico. Los ejemplos de subgrupos característicos incluyen el subgrupo del conmutador y el centro de un grupo.

Definiciones

Un subgrupo característico de un grupo G es un subgrupo H que es invariante bajo cada automorphism de G. Esto es,

:

para cada automorphism φ de G (donde φ (el H) denota la imagen de H bajo φ).

La declaración “H es un subgrupo característico de G” se escribe

:

Característica contra normal

Si G es un grupo, y g es un elemento fijo de G, entonces el mapa de la conjugación

:

es un automorphism de G (conocido como automorphism interior). Llaman un subgrupo de G que es invariante bajo todo automorphisms interior normal. Ya que un subgrupo característico es invariante bajo todo automorphisms, cada subgrupo característico es normal.

No cada subgrupo normal es característico. Aquí están varios ejemplos:

Nota: Si H es el subgrupo único de un grupo G, entonces H es característico en G.

Comparación con otras propiedades del subgrupo

Subgrupos distinguidos

Un concepto relacionado es el de un subgrupo distinguido. En este caso el subgrupo H es invariante según las aplicaciones de surjective endomorphisms. Para un grupo finito esto es lo mismo, porque surjectivity implica injectivity, pero no para un grupo infinito: un surjective endomorphism es no necesariamente un automorphism.

Subgrupos totalmente invariantes

Para una coacción aún más fuerte, un subgrupo totalmente característico (también llamó un subgrupo totalmente invariante) H de un grupo G es un grupo invariante restante bajo cada endomorphism de G; en otras palabras, si f: Gel G es cualquier homomorphism, entonces f (el H) es un subgrupo de H.

Subgrupos verbales

Una coacción aún más fuerte es el subgrupo verbal, que es la imagen de un subgrupo totalmente invariante de un grupo libre bajo un homomorphism.

Contenciones

Cada subgrupo que es totalmente característico seguramente se distingue y por lo tanto característica; pero una característica o hasta el subgrupo distinguido no tienen que ser totalmente característicos.

Se ve fácilmente que el centro de un grupo es siempre un subgrupo distinguido, pero no siempre es totalmente característico. El grupo finito de la orden 12, Sym (3) × Z/2Z tiene un homomorphism que toma (π, y) a ((1,2), 0) que toma el centro 1 × Z/2Z en un subgrupo de Sym (3) × 1, que encuentra el centro sólo en la identidad.

La relación entre estas propiedades del subgrupo se puede expresar como:

El:subgroup ⇐ subgrupo normal ⇐ subgrupo característico ⇐ distinguió el subgrupo ⇐ subgrupo totalmente característico ⇐ subgrupo verbal

Ejemplos

Ejemplo finito

Considere el grupo G = S × Z (el grupo de la orden 12 que es el producto directo del grupo simétrico de la orden 6 y un grupo cíclico de la orden 2). El centro de G es su segundo factor Z. Note que el primer factor S contiene subgrupos isomorphic a Z, por ejemplo {identidad, (12)}; f dejar: Z → S ser el morphism que traza un mapa Z en el subgrupo indicado. Entonces la composición de la proyección de G en su segundo factor Z, seguido de f, seguido de la inclusión de S en G como su primer factor, proporciona un endomorphism de G bajo el cual la imagen del centro Z no se contiene en el centro, por tanto aquí el centro no es un subgrupo totalmente característico de G.

Grupos cíclicos

Cada subgrupo de un grupo cíclico es característico.

Subgrupo functors

El subgrupo sacado (o el subgrupo del conmutador) de un grupo son un subgrupo verbal. El subgrupo de la torsión de un grupo abelian es un subgrupo totalmente invariante.

Transitividad

La propiedad de ser característico o totalmente característico es transitiva; si H es un subgrupo (totalmente) característico de K, y K es un subgrupo (totalmente) característico de G, entonces H es un subgrupo (totalmente) característico de G.

Además, mientras no es verdad que cada subgrupo normal de un subgrupo normal es normal, es verdad que cada subgrupo característico de un subgrupo normal es normal. Del mismo modo, mientras no es verdad que cada subgrupo distinguido de un subgrupo distinguido se distingue, es verdad que cada subgrupo totalmente característico de un subgrupo distinguido se distingue.

Mapa en Aut y End

Si, entonces cada automorphism de G induce un automorphism del grupo del cociente G/H, que cede un mapa.

Si H es totalmente característico en G, entonces análogamente, cada endomorphism de G induce un endomorphism de G/H, que cede un mapa

.

Véase también



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